「珊瑚と”かぎ針編み”に見る美しき数学の世界」マーガレット・ワーザイム

私が今日 お話しするのは 私が双子の妹と３年半続けている企画に関してです

I'm here today, as June said, to talk about a project that my twin sister and I have been doing for the past three and half years.



私たちは珊瑚礁をかぎ針編みで作っています

We're crocheting a coral reef.



この企画は現在 世界中の 何百人という人たちが参加し 何千人もの人たちが この企画にいろいろな面で 関わっています

And it's a project that we've actually been now joined by hundreds of people around the world, who are doing it with us. Indeed thousands of people have actually been involved in this project, in many of its different aspects.



この企画は三大陸にまたがり進められています ルーツは 数学や海洋生物 女性による手芸や環境活動まで 様々な分野が含まれます 本当です

 It's a project that now reaches across three continents, and its roots go into the fields of mathematics, marine biology, feminine handicraft and environmental activism. It's true.



また この企画は 地球上の 命の進化に対して 理解を深めることができます 特に 2009年2月現在 これは最高のテーマだと思います 先ほど ある方も言っていたように 2009年はチャールズ ダーウィンの 生誕200年にあたるからです

 It's also a project that in a very beautiful way, the development of this has actually paralleled the evolution of life on earth, which is a particularly lovely thing to be saying right here in February 2009 -- which, as one of our previous speakers told us, is the 200th anniversary of the birth of Charles Darwin.



以上のことを18分間でお伝えしますが あらましをつかむのに 最初に写真をお見せします

All of this I'm going to get to in the next 18 minutes, I hope. But let me first begin by showing you some pictures of what this thing looks like.



 ここに見える作品は 幅1.8mの大きさです 高さは一番丈のあるもので約60～90cmです

Just to give you an idea of scale, that installation there is about six feet across, and the tallest models are about two or three feet high.



 こんなのも あります 右端の作品は高さが約1.5m

This is some more images of it. That one on the right is about five feet high.





 かぎ針編みの珊瑚は何百種類もあって 今ではこの一部として世界中から かぎ針編みの珊瑚が何千と寄付されました

The work involves hundreds of different crochet models. And indeed there are now thousands and thousands of models that people have contributed all over the world as part of this.



 この企画に関わる人たちの 労働時間は合計で 何万時間にもなり 99％が女性によるものです

The totality of this project involves tens of thousands of hours of human labor -- 99 percent of it done by women.





 右側にあるのは 幅が約3.6mの 作品の一部です

On the right hand side, that bit there is part of an installation that is about 12 feet long.



私たち姉妹がこの企画を始めたのは2005年 その年 少なくとも科学系の出版物には 地球温暖化と珊瑚礁への影響について 多くの記事が書かれていました

My sister and I started this project in 2005 because in that year, at least in the science press, there was a lot of talk about global warming, and the effect that global warming was having on coral reefs.



珊瑚は非常に繊細な生物で 海水温度が少しでも上昇すると死滅してしまいます

 Corals are very delicate organisms, and they are devastated by any rise in sea temperatures.



珊瑚が退色するのは 病気になっている最初のサインです

It causes these vast bleaching events that are the first signs of corals of being sick.



白化したままであったり 水温が下がらなければ 珊瑚礁は死滅に向かいます

And if the bleaching doesn't go away -- if the temperatures don't go down -- reefs start to die.



 グレートバリアリーフの状況は酷く 世界中の珊瑚礁が衰退しています

A great deal of this has been happening in the Great Barrier Reef, particularly in coral reefs all over the world.



これは白化した珊瑚礁を作品にしたものです

 This is our invocation in crochet of a bleached reef.





私たちは IFFという組織を運営しており 科学と数学の 美しくてロマンチックな様相を 広めることを趣旨に活動しています

We have a new organization together called The Institute for Figuring, which is a little organization we started to promote, to do projects about the aesthetic and poetic dimensions of science and mathematics.



 この企画への参加をネット上で 公募したところ 驚いたことに アンディーウォーホル美術館から 連絡が来ました

And I went and put a little announcement up on our site, asking for people to join us in this enterprise. To our surprise, one of the first people who called was the Andy Warhol Museum.



地球温暖化を題材に 展覧会をするので 出展してほしい というものでした

And they said they were having an exhibition about artists' response to global warming, and they'd like our coral reef to be part of it.



 私は笑って “始めたばかりだから 少しだけならば” と言いました

 I laughed and said, "Well we've only just started it, you can have a little bit of it."



それで2007年に展覧会をしました かぎ針編み珊瑚の小さな展覧会です

So in 2007 we had an exhibition, a small exhibition of this crochet reef.





その後 別の依頼がありました “シカゴで開催する芸術文化祭典の2007年のテーマは地球温暖化です 84坪のギャラリーがあるので 貴女が作る珊瑚礁で埋め尽くしてほしいの”

And then some people in Chicago came along and they said, "In late 2007, the theme of the Chicago Humanities Festival is global warming. And we've got this 3,000 square-foot gallery and we want you to fill it with your reef."



 この時の私の考えは甘く “もちろんよ” と答えました

And I, naively by this stage, said, "Oh, yes, sure."



 考えが甘いと言ったのは 私の本職は科学作家なのです

 Now I say "naively" because actually my profession is as a science writer.



 物理の文化的歴史に関して執筆していて 宇宙の歴史に関する本や 物理や宗教の歴史の本を書いてきました。ニューヨークタイムズやロサンゼルスタイムズにも記事を書いています

What I do is I write books about the cultural history of physics. I've written books about the history of space, the history of physics and religion, and I write articles for people like the New York Times and the L.A. Times.



 ですから84坪を埋め尽くす大変さが分からず 二つ返事をしたのです

So I had no idea what it meant to fill a 3,000 square-foot gallery. So I said yes to this proposition.



 帰宅して 妹に伝えると 彼女はカンカンに怒りました なぜなら妹は カリフォルニア芸術大学で教授をしていて 84坪を埋め尽くす大変さを知っていたからです

And I went home, and I told my sister Christine. And she nearly had a fit because Christine is a professor at one of L.A.'s major art colleges, CalArts, and she knew exactly what it meant to fill a 3,000 square-foot gallery.



 妹は怒りながらも 猛烈に かぎ針編みを始めました

She thought I'd gone off my head. But she went into crochet overdrive.





結論を言ってしまうと ８ヶ月後 シカゴ文化センターの84坪のギャラリーを 埋め尽くしました

And to cut a long story short, eight months later we did fill the Chicago Cultural Center's 3,000 square foot gallery.



この時点で この企画は 想像以上に どんどん広がっていきました

By this stage the project had taken on a viral dimension of its own, which got completely beyond us.



 シカゴの人たちは 私たちの珊瑚礁の展示に加えて 彼ら自身の 珊瑚礁づくりをしたいと言いました

The people in Chicago decided that as well as exhibiting our reefs, what they wanted to do was have the local people there make a reef.



私たちは講習会を開いて作り方を教え シカゴの人たちは自ら珊瑚礁を作ったのです 私たちの作品と並べて展示されました

So we went and taught the techniques. We did workshops and lectures. And the people in Chicago made a reef of their own.  And it was exhibited alongside ours.



何百人もの人が関わりました

There were hundreds of people involved in that.



私たちは招待されて同じことを ニューヨークとロンドン ロサンゼルスでも行いました

We got invited to do the whole thing in New York, and in London, and in Los Angeles.



 その各都市で何百人という 地元の市民が珊瑚礁を作りました

 In each of these cities, the local citizens, hundreds and hundreds of them, have made a reef.



参加者は どんどん増えています 大半が初対面の人たちです

And more and more people get involved in this, most of whom we've never met.



 ですから この企画は 妹と私の域を超えて 成長し続ける生命体になっています

So the whole thing has sort of morphed into this organic, ever-evolving creature, that's actually gone way beyond Christine and I.



さて こう思っている方はいませんか？

Now some of you are sitting here thinking,



 “なぜ この人たちは 珊瑚をかぎ針編みしてるのか？

"What planet are these people on? Why on earth are you crocheting a reef?



 毛糸と水なんて ミスマッチな感じがする

Woolenness and wetness aren't exactly two concepts that go together.



なぜ大理石を彫ったり ブロンズで作らないのか？”

Why not chisel a coral reef out of marble? Cast it in bronze."



それには かぎ針編みをする 大きな理由があるのです 珊瑚礁には独特な形をした― 生き物がたくさんいます 珊瑚 海藻 スポンジ ウミウシに見られる ひだがついた形は 双曲幾何学と呼ばれる幾何学の一種です


But it turns out there is a very good reason why we are crocheting it because many organisms in coral reefs have a very particular kind of structure. The frilly crenulated forms that you see in corals, and kelps, and sponges and nudibranchs, is a form of geometry known as hyperbolic geometry.







 数学者にとって この構造を再現する― 唯一の方法は かぎ針編みです

And the only way that mathematicians know how to model this structure is with crochet.



 これは事実なんです

 It happens to be a fact.



この構造は コンピュータを含め 別の方法で作るのは ほぼ不可能です

It's almost impossible to model this structure any other way, and it's almost impossible to do it on computers.



では 珊瑚やウミウシが表している― 双曲幾何学とは何かを探るため

So what is this hyperbolic geometry that corals and sea slugs embody?



次の数分 皆でレベルを上げましょう ウミウシのレベルまで （笑）

The next few minutes is, we're all going to get raised up to the level of a sea slug. (Laughter)



 双曲幾何学が19世紀に発見されたとき 数学に大変革が起こりましたが 数学者は 1997年まで 形に表すことができませんでした

 This sort of geometry revolutionized mathematics when it was first discovered in the 19th century. But not until 1997 did mathematicians actually understand how they could model it.



1997年にコーネル大学の 数学者 デーナ タイミナが この構造を編み物で再現できると 発見しました

In 1997 a mathematician at Cornell, Daina Taimina, made the discovery that this structure could actually be done in knitting and crochet.



 彼女は最初 棒針を使いましたが 目があまりにも多すぎるため かぎ針が適していると気づきました

The first one she did was knitting. But you get too many stitches on the needle. So she quickly realized crochet was the better thing.



 彼女は再現は不可能だと言う 数学者の概念を覆す― 数学的構造を作り上げました

But what she was doing was actually making a model of a mathematical structure, that many mathematicians had thought it was actually impossible to model.



本来 この種の構造は 無理だと考えられていました

And indeed they thought that anything like this structure was impossible per se.



数学の権威と言われる人たちも 不可能性を証明するのに何百時間と費やしました

   Some of the best mathematicians spent hundreds of years trying to prove that this structure was impossible.



双曲構造の何がそうさせるのでしょう？

So what is this impossible hyperbolic structure?



双曲幾何学が出てくる前 数学者が認識していた二つの空間は ユークリッド空間と球状空間で どちらも異なる特質をもっています

Before hyperbolic geometry, mathematicians knew about two kinds of space: Euclidean space, and spherical space. And they have different properties.



数学者は形式主義者なので 特徴づけが好きです

Mathematicians like to characterize things by being formalist.



皆さんは平面 いわゆるユークリッド空間の意味はわかりますね？

You all have a sense of what a flat space is, Euclidean space is.



でも 数学者は平行線の概念を使って ユークリッド空間を 定義します

But mathematicians formalize this in a particular way. And what they do is, they do it through the concept of parallel lines.



ここに直線があり その上に点があります

So here we have a line and a point outside the line.



 ユークリッドの定義で質問します この点を通過しつつ 直線に 交わらない線は 何本？

And Euclid said, "How can I define parallel lines? I ask the question, how many lines can I draw through the point but never meet the original line?"



 どなたか答えてくれますか？

And you all know the answer. Does someone want to shout it out?



そう　１です

One. Great. Okay.



それが平行線の定義で ユークリッド空間の定義ですが

That's our definition of a parallel line. It's a definition really of Euclidean space.





他の可能性もあります 球状空間です

But there is another possibility that you all know of: spherical space.



ビーチボールや地球のような 球の表面を考えてください

Think of the surface of a sphere -- just like a beach ball, the surface of the Earth.



球の表面に直線が引いてあり その上に点があります

I have a straight line on my spherical surface. And I have a point outside the line.



この点を通過しつつ 直線に交わらない線は 何本あるでしょう？

How many straight lines can I draw through the point but never meet the original line?



丸みを帯びた表面における 直線とはどういう意味か

What do we mean to talk about a straight line on a curved surface?



― 数学者が答えを出しています

   Now mathematicians have answered that question.



 直線を一般化した― 測地線と呼ばれるものがあり 球の表面に描ける 最長の円が直線です

They've understood there is a generalized concept of straightness, it's called a geodesic. And on the surface of a sphere, a straight line is the biggest possible circle you can draw.



 赤道や経線を想像してください

So it's like the equator or the lines of longitude.



もう一度質問します

So we ask the question again,



点を通りつつ 元の線に 交わらない線は何本？

"How many straight lines can I draw through the point, but never meet the original line?"



 どなたか当ててくれますか？

Does someone want to guess?



そうですね　０です

Zero. Very good.





数学者はそれが唯一の選択肢だと思っていました

Now mathematicians thought that was the only alternative.



 この二つの答えは少し疑わしいですね。０と１です

It's a bit suspicious isn't it? There is two answers to the question so far, Zero and one. Two answers?


 三つめの答えがあるかもしれません

There may possibly be a third alternative.



数学者が答えを導き それが０と１ならば 即座に提案できる 三つめの 選択肢があります

To a mathematician if there are two answers, and the first two are zero and one, there is another number that immediately suggests itself as the third alternative.



 どなたか当ててくれますか？

Does anyone want to guess what it is?



無限大　皆さん正解です

Infinity. You all got it right. Exactly.



三つめの選択肢は このように見えます

 There is, there's a third alternative. This is what it looks like.



直線があり 無限の線が点を通り 直線とは交ることはありません

There's a straight line, and there is an infinite number of lines that go through the point and never meet the original line.



これは その図形です

This is the drawing.





さすがに 数学者たちは頭を抱えました 線が弧を描いていることから だまされたように感じていたのです

This nearly drove mathematicians bonkers because, like you, they're sitting there feeling bamboozled. Thinking, how can that be? You're cheating. The lines are curved.



 でも それは単に平面に 映し出しているからです

But that's only because I'm projecting it onto a flat surface.



数学者は数百年間 どうやってこれを 形に出来るか格闘しました

Mathematicians for several hundred years had to really struggle with this. How could they see this? What did it mean to actually have a physical model that looked like this?



 図形しかなければ想像するのも大変ですが このように考えてください。ユークリッド空間しか知らない人に 北極点と南極点で 必ず直線が交わる― 球の存在を話したとします

It's a bit like this: imagine that we'd only ever encountered Euclidean space. Then our mathematicians come along and said, "There's this thing called a sphere, and the lines come together at the north and south pole." But you don't know what a sphere looks like.



 どんな形なのか教えるために ボールを見てごらん と言ってあげれば 視覚や触覚から 球とは何かを理解できるのです

And someone that comes along and says, "Look here's a ball." And you go, "Ah! I can see it. I can feel it. I can touch it. I can play with it."



 それがまさに1997年に デーナ タイミナがやってみせたことです 彼女はかぎ針編みで双曲線空間を 形成できると証明しました

And that's exactly what happened when Daina Taimina in 1997, showed that you could crochet models in hyperbolic space.



これがかぎ針編みで表した図解です

Here is this diagram in crochetness.





 表面にユークリッド幾何学の平行線公準を縫いました

I've stitched Euclid's parallel postulate on to the surface.



線はカーブしているように見えますが 直線だということを証明できます 線を一つ選んで それに沿って折ると 直線が現れます

And the lines look curved. But look, I can prove to you that they're straight because I can take any one of these lines, and I can fold along it. And it's a straight line.





数学で最も名高い公準が 間違っていることを 女性による手芸が 毛糸で証明しました （拍手）

 So here, in wool, through a domestic feminine art, is the proof that the most famous postulate in mathematics is wrong. (Applause)



このような表面には 様々な数学の定理を縫えます

And you can stitch all sorts of mathematical theorems onto these surfaces.



双曲線空間の発見は非ユークリッド幾何学と呼ばれる― 数学の分野をもたらしました

The discovery of hyperbolic space ushered in the field of mathematics that is called non-Euclidean geometry.



 これは一般相対性理論の 基礎となる数学の分野で 宇宙の形がどのようになっているのか 見せてくれるのです

And this is actually the field of mathematics that underlies general relativity and is actually ultimately going to show us about the shape of the universe.



女性による手芸から ユークリッド そして 一般相対性理論へと順行しています

So there is this direct line between feminine handicraft, Euclid and general relativity.



数学者が無理だと言っていたことは触れました

Now, I said that mathematicians thought that this was impossible.



平行線公準なんて知らない２種類の生き物がいます 問題になっているとも知らずに 暮らしてきた生き物で 何億年もこの形をしています

Here's two creatures who've never heard of Euclid's parallel postulate -- didn't know it was impossible to violate, and they're simply getting on with it. They've been doing it for hundreds of millions of years.





私は以前 数学者に なぜ この構造が不可能だと思ったのか 尋ねました ウミウシはシルル紀からこの形のままです

 I once asked the mathematicians why it was that mathematicians thought this structure was impossible when sea slugs have been doing it since the Silurian age.



彼らの回答は面白くて ウミウシをじっと観察する数学者は 少ないからではないか と言われました

Their answer was interesting. They said, "Well I guess there aren't that many mathematicians sitting around looking at sea slugs."



もっともな意見ですが それよりも重大なのは 数学者たちの 数学に対する捉え方を物語っていることです 彼らが出来る と思っていたことや 再現出来ないと思っていたことです

And that's true. But it also goes deeper than that. It also says a whole lot of things about what mathematicians thought mathematics was, what they thought it could and couldn't do, what they thought it could and couldn't represent.



数学者は 思索家の中でも 一番自由な思想をもつ人たちですが 彼らでさえ ウミウシだけではなく レタスにも気づきませんでした

Even mathematicians, who in some sense are the freest of all thinkers, literally couldn't see not only the sea slugs around them, but the lettuce on their plate



ひだ状になっている野菜は 双曲線幾何学をかたどっています

-- because lettuces, and all those curly vegetables, they also are embodiments of hyperbolic geometry.



 ある意味 彼らは数学における 記号的な見方を持っていますが 目の前にあるレタスには 気がつかなかったのです

And so in some sense they literally, they had such a symbolic view of mathematics, they couldn't actually see what was going on on the lettuce in front of them.



自然界は双曲線の神秘に満ちています

 It turns out that the natural world is full of hyperbolic wonders.





かぎ針で編めば 異なる形の双曲生物を 無限につくれることもわかりました

And so, too, we've discovered that there is an infinite taxonomy of crochet hyperbolic creatures.




私たち姉妹と企画の参加者たちは 数学的に シンプルで正確なモデルに取りかかりました

We started out, Chrissy and I and our contributors, doing the simple mathematically perfect models.



でも 私たちがその具体的な数学的コードの 一式から外れると 根底にあるのは ３回編んで 一目増やすという シンプルな演算法だとわかり 急にそのモデルが自然に見え始めました

But we found that when we deviated from the specific setness of the mathematical code that underlies it -- the simple algorithm crochet three, increase one -- when we deviated from that and made embellishments to the code, the models immediately started to look more natural.



 世界中から参加してくれる 素晴らしい人たちは 彼ら独自の作品を作っています

And all of our contributors, who are an amazing collection of people around the world, do their own embellishments.



 いわば 私たちは未だかつてない かぎ針編みの系統樹を進化させています

As it were, we have this ever-evolving, crochet taxonomic tree of life.



形態学や地球上の 生命体の複雑さには終わりがないように 遺伝子コードに含まれる 潤色や複素化が 新しい生き物を生み出します

Just as the morphology and the complexity of life on earth is never ending, little embellishments and complexifications in the DNA code lead to new things like giraffes, or orchids



 同様に わずかなひねりが 作品の進化系統樹に 新しくて不思議な生き物を生み出すのです

 -- so too, do little embellishments in the crochet code lead to new and wondrous creatures in the evolutionary tree of crochet life.



ですから この企画はまさに 内に秘めた有機的な命をもつようになりました

So this project really has taken on this inner organic life of its own.



参加した人 全員の集合性です

There is the totality of all the people who have come to it.



そして彼らの個人的なビジョンと この数学的方法との結びつきです

And their individual visions, and their engagement with this mathematical mode.



かぎ針編みを用いる― 動機や重要性は何かと言うと これらの事柄が 体系化した知識の重要性や 価値を表している事です

We have these technologies. We use them. But why? What's at stake here? What does it matter? For Chrissy and I, one of the things that's important here is that these things suggest the importance and value of embodied knowledge.





 私たちが住む社会とは 記号化した表現方法を 非常に評価する傾向にあります。代数による表現や 方程式や記号などです

We live in a society that completely tends to valorize symbolic forms of representation -- algebraic representations, equations, codes.



私たちの住む世界とは 情報の表し方や教え方が 型にはまっています

We live in a society that's obsessed with presenting information in this way, teaching information in this way.



 でも かぎ針編みや 形を造る遊びを利用すれば 最も抽象的で活動的で理論的な考えと 関係性をもてるのです

But through this sort of modality, crochet, other plastic forms of play -- people can be engaged with the most abstract, high-powered, theoretical ideas,



普通ならば大学に進んで 高級数学で学ぶような事柄です。私が初めて双曲線空間を学んだのも大学でした

the kinds of ideas that normally you have to go to university departments to study in higher mathematics, which is where I first learned about hyperbolic space.



でも物を使った遊びでも同じことはできます

But you can do it through playing with material objects.



遊びと結びつけた方法の一つを 私たちは IFFで実現させようとしており 大人向けの幼稚園の中に 取り入れようとしています

One of the ways that we've come to think about this is that what we're trying to do with the Institute for Figuring and projects like this, we're trying to have kindergarten for grown-ups.





幼稚園は非常に一定の 形をもつ教育システムで フリードリッヒ フレーベルが確立しました。彼は19世紀の結晶学者で 結晶が全ての表現の モデルであると信じていました

And kindergarten was actually a very formalized system of education, established by a man named Friedrich Froebel, who was a crystallographer in the 19th century. He believed that the crystal was the model for all kinds of representation.

彼は急進的なやり方で 幼い子どもが 物を使って 最も抽象的な概念を体感できる― システムを発展させました

He developed a radical alternative system of engaging the smallest children with the most abstract ideas through physical forms of play.



 彼の功績は素晴らしいものです

And he is worthy of an entire talk on his own right.



フレーベルは 形を造る遊びを通した教育に 価値があると提唱しました

The value of education is something that Froebel championed, through plastic modes of play.



私たちが現在住む世界には シンクタンクが沢山あって 世界について考える偉大な人が大勢います

We live in a society now where we have lots of think tanks, where great minds go to think about the world.





 彼らは 本や新聞や 論評といった 表象的なものを書きますが 私たち姉妹は IFFを通して 別の方法を提案したいのです それは プレイタンク

They write these great symbolic treatises called books, and papers, and op-ed articles. We want to propose, Chrissy and I, through The Institute for Figuring, another alternative way of doing things, which is the play tank.





プレイタンクはシンクタンクのように 素晴らしいアイデアを 分かち合える場所です

And the play tank, like the think tank, is a place where people can go and engage with great ideas.



 でも 私たちが提案するのは 最高レベルの抽象概念です。数学や情報処理や 数理論理学などは 難しい代数や 記号解法だけではなく 遊びを通じて体感できるのです

 But what we want to propose, is that the highest levels of abstraction, things like mathematics, computing, logic, etc. -- all of this can be engaged with, not just through purely cerebral algebraic symbolic methods, but by literally, physically playing with ideas.



 どうもありがとう （拍手）

Thank you very much. (Applause)

ソース：「珊瑚と”かぎ針編み”に見る美しき数学の世界」マーガレット・ワーザイム
Margaret Wertheim: The beautiful math of coral